Il nome di questo pentagono frattale č in onore di Albrecht Dürer (1471 - 1528), grande artista e matematico rinascimentale, il quale, nel suo primo trattato di geometria, descrive un certo numero di modelli di piastrelle formati da pentagoni, come le due rappresentate nella figura in basso, tratta da The trouble with five di Craig Kaplan.
Figura: a sinistra vediamo rosette di pentagoni combinate in modo radiale, come descritto da Dürer. La spirale a destra invece racchiude un decacono regolare.
REALIZZAZIONE
Il pentagono frattale di Dürer, č stato realizzato con il metodo di Barnsley; esso deriva direttamente da quello di Sierpinski, non appena si aggiunga a questo una sesta trasformazione, consistente nella solita contrazione seguita da una rotazione di 180° e dall'opportuna traslazione.
Ma andiamo con ordine.
Si predispone un'urna con sei palline, una rossa, una arancione, una verde, una blu, una gialla e una celeste; ogni pallina contiene le istruzioni per una trasformazione.
Ogni pallina ha la probabilitą di circa il 16,7% di essere estratta.
Tutte le trasformazioni prevedono una contrazione k = 0.382
Riportiamo il frattale con i colori rispettivamente collegati al colore di ogni pallina estratta. |
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| Pallina rossa | (quadrato rosso dell'immagine a destra) | Contrazione di k |
Le sei trasformazioni. |
| Pallina arancione | (quadrato arancione dell'immagine a destra) |
Contrazione di k; traslazione orizzontale di + 0.618 |
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| Pallina verde | (quadrato verde dell'immagine a destra) |
Contrazione di k; traslazione orizzontale di + 0.809; traslazione verticale di + 0.588 |
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| Pallina blu | (quadrato blu dell'immagine a destra) |
Contrazione di k; traslazione orizzontale di + 0.309; traslazione verticale di + 0.951 |
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| Pallina gialla | (quadrato giallo dell'immagine a destra) |
Contrazione di k; traslazione orizzontale di - 0.191; traslazione verticale di + 0.588 |
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| Pallina celeste | (quadrato celeste dell'immagine a destra) |
Contrazione di -k; traslazione orizzontale di + 0.691; traslazione verticale di + 0.951 |
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Ecco il listato del programma in linguaggio di progetto:
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INIZIA k=0.382 x=0 y=0 | K č il rapporto di
contrazione; x ed y sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto di partenza. 7td> | ||||||||||||||||||
Ripeti per 20000 volte:
Estrai un numero a caso (di nome T) minore di 1000
| Si inizia il ciclo: viene
estratto un numero casuale che ci permette di impostare la trasformazione a
seconda del suo valore|
| SeT < 167 allora x1 = kx y1 = ky Scegli il colore rosso Ecco la prima trasformazione, applicata con probabilitą del
16,7% | (Pallina rossa)
| Altrimenti seT < 334 allora x1 = kx + 0.618 y1 = ky Scegli il colore arancione Ecco la seconda trasformazione, applicata con probabilitą del
16,7% | (Pallina arancione)
| Altrimenti seT < 501 allora x1 = kx + 0.809 y1 = ky + 0.588 Scegli il colore verde Ecco la terza trasformazione, applicata con
probabilitą del 16,7% | (Pallina verde)
| Altrimenti seT < 668 allora x1 = kx + 0.309 y1 = ky + 0.951 Scegli il colore blu Ecco la quarta trasformazione, applicata con probabilitą del
16,7% | (Pallina blu)
| Altrimenti se T < 835 allora
x1 = kx - 0.191
y1 = ky + 0.588
Scegli il colore giallo
Ecco la quinta trasformazione, applicata con probabilitą del
16,7% | (Pallina gialla)
| Altrimenti
x1 = -kx + 0.691
y1 = -ky + 0.951
Scegli il colore celeste
Ecco la sesta trasformazione, applicata con probabilitą del
16,5% | (Pallina celeste)
Fine se. | Se hai gią fatto 20 ripetizioni allora Disegna sullo schermo il punto (x1,y1) moltiplicando la sua ascissa e la sua ordinata per 150 (o per la scala preferita).
x = x1 | y = y1
Le coordinate del
punto trasformato sostituiscono i valori iniziali e ad esse si applica la
prossima trasformazione. |
Fine ciclo
| FINE | | |
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