Proseguendo nello studio del frattale di Lorenz ricerchiamone i punti fissi, o stazionari, cioè quelli in cui la funzione resta costante.
Se l´orbita passa per un punto fisso, evidentemente non lo lascia più: tale punto diventa un attrattore e la traiettoria non è caotica.
Indichiamo con A1 la terna (x1,y1,z1), con A2 la terna (x2,y2,z2), con A3 la terna (x3,y3,z3).
A1 rappresenta l´assenza di moto convettivo, ed è l´unico punto fisso per ρ ≤ 1; A2 ed A3, che da un punto di vista fisico esistono solo per ρ ≥ 1, rappresentano due stati di convenzione a velocità costante e la circolazione in verso orario o antiorario.
Riportiamo le immagini della curva nel piano x - z, per diversi valori di ρ.
Nelle immagini i punti fissi, per una migliore visualizzazione, sono rappresentati come cerchi di raggio 2 pixel; i valori trovati sono approssimati ai centesimi per motivi di spazio: conviene invece una migliore approssimazione.
ρ = 12 In questo caso:A1(0,0,0) A2((8/3*11)0.5,(8/3*11)0.5,11)≈(5.4,5.4,11) A3(-x2,-y2,z2)≈(-5.4,-5.4,11) La traiettoria si stabilizza intorno ad A2. ρ = 20 In questo caso:A1(0,0,0) A2((8/3*19)0.5,(8/3*19)0.5,19)≈(7.2,7.2,19) A3(-x2,-y2,z2)≈(-7.2,-7.2,19) La traiettoria si stabilizza intorno ad A3. ρ = 28 In questo caso:A1(0,0,0) A2((8/3*27)0.5,(8/3*27)0.5,27)≈(8.8,8.8,27) A3(-x2,-y2,z2)≈(-8.8,-8.8,27) La traiettoria non si stabilizza, non è periodica, e si avvolge a spirale intorno ad A2 ed A3. |
In generale, posto
si dimostra che, per 0 < ρ ≤ 1 il sistema ammette come attrattore A1, per 1 < ρ ≤ k la traiettoria converge verso A2 o A3, mentre per ρ > k i punti fissi diventano repulsori, l’unico attrattore del modello è un attrattore strano e, come vedremo, le dinamiche sono completamente caotiche.
(dimostrazione su Introduction to Chaos: Lorenz Equations; invece per Routh array conviene Control_Systems su wikibooks o, meglio wikipedia, Tesina Riccobene, o su lecnotes11.pdf)
Per meglio chiarire l´argomento, riportiamo il diagramma temporale dell´attrattore per i vari valori di ρ.
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