Attrattore di Lorenz - pagina 2

Proseguendo nello studio del frattale di Lorenz ricerchiamone i punti fissi, o stazionari, cioè quelli in cui la funzione resta costante.
Se l´orbita passa per un punto fisso, evidentemente non lo lascia più: tale punto diventa un attrattore e la traiettoria non è caotica.

Risolviamo dunque il sistema omogeneo:    σ(y-x) = 0    and    x(ρ - z) = 0    and    xy - βz = 0.

Le soluzioni del sistema sono

Indichiamo con A1 la terna (x1,y1,z1), con A2 la terna (x2,y2,z2), con A3 la terna (x3,y3,z3).
A1 rappresenta l´assenza di moto convettivo, ed è l´unico punto fisso per ρ ≤ 1; A2 ed A3, che da un punto di vista fisico esistono solo per ρ ≥ 1, rappresentano due stati di convenzione a velocità costante e la circolazione in verso orario o antiorario.

Ora ci domandiamo se tali punti fissi siano anche punti di equilibrio stabile, cioè tali che, partendo da un certo (x0,y0,z0) si ottenga una successione convergente a uno di essi. In tal caso il punto fisso diventa attrattore per il sistema, in caso contrario (equilibrio instabile) esso diventa un repulsore.
Lasciamo σ = 10 , β = 8/3; consideriamo ρ come parametro di controllo e studiamo le caratteristiche del sistema al suo variare.

Riportiamo le immagini della curva nel piano x - z, per diversi valori di ρ.
Nelle immagini i punti fissi, per una migliore visualizzazione, sono rappresentati come cerchi di raggio 2 pixel; i valori trovati sono approssimati ai centesimi per motivi di spazio: conviene invece una migliore approssimazione.

ρ = 12

In questo caso:
A1(0,0,0)
A2((8/3*11)0.5,(8/3*11)0.5,11)≈(5.4,5.4,11)
A3(-x2,-y2,z2)≈(-5.4,-5.4,11)
La traiettoria si stabilizza intorno ad A2.

ρ = 20

In questo caso:
A1(0,0,0)
A2((8/3*19)0.5,(8/3*19)0.5,19)≈(7.2,7.2,19)
A3(-x2,-y2,z2)≈(-7.2,-7.2,19)
La traiettoria si stabilizza intorno ad A3.

ρ = 28

In questo caso:
A1(0,0,0)
A2((8/3*27)0.5,(8/3*27)0.5,27)≈(8.8,8.8,27)
A3(-x2,-y2,z2)≈(-8.8,-8.8,27)
La traiettoria non si stabilizza, non è periodica, e si avvolge a spirale intorno ad A2 ed A3.

In generale, posto

si dimostra che, per 0 < ρ ≤ 1 il sistema ammette come attrattore A1, per 1 < ρ ≤ k la traiettoria converge verso A2 o A3, mentre per ρ > k i punti fissi diventano repulsori, l’unico attrattore del modello è un attrattore strano e, come vedremo, le dinamiche sono completamente caotiche.

(dimostrazione su Introduction to Chaos: Lorenz Equations; invece per Routh array conviene Control_Systems su wikibooks o, meglio wikipedia, Tesina Riccobene, o su lecnotes11.pdf)

Per meglio chiarire l´argomento, riportiamo il diagramma temporale dell´attrattore per i vari valori di ρ.


ρ = 12, σ = 10 e β = 8/3

Abbiamo rappresentato z(t) in rosso, mentre y(t) in verde.
Gradatamente i valori si stabilizzano:
z = 11
y ≈ 5.42.
Per questo valore di ρ il diagramma non è caotico.

ρ = 20, σ = 10 e β = 8/3.

Abbiamo rappresentato z(t) in rosso, mentre y(t) in verde.
Gradatamente i valori si stabilizzano:
z = 19
y ≈ -7.18
Anche Per questo valore di ρ il diagramma non è caotico.

ρ = 28, σ = 10 e β = 8/3

Abbiamo rappresentato y(t) in verde.
Non ci sono punti di equilibrio stabile.
A2(8.845,8.845,27) e A3(-8.845,-8.845,27)
sono punti di sella.
Per questo valore di ρ il diagramma è caotico ed evolve senza mai intersecare se stesso.
Studiamo le caratteristiche dell´attrattore in questo caso.


 

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