PREMESSA

I numeri reali non bastano a risolvere tutti i problemi: ad esempio non esiste in R la radice quadrata di un numero negativo, poiché il quadrato di un numero reale è sempre positivo, se la base è diversa da zero, o nullo, quando è nulla. Dunque una semplice equazione di secondo grado come x2 + 1 = 0 non ammette soluzione nell'insieme dei numeri reali. Per ovviare a questo tipo di problemi di introduce l'unità immaginaria i che, elevata al quadrato, dà -1. Per analogia con i numeri reali, si ammette poi che anche (-i)2 = -1. Ecco allora che, ad esempio, un'equazione come x2 + 1 = 0 ammette le due soluzioni che ci aspettiamo: ± i.

× + - + + - - - + Regola dei segni

Risolviamo un'equazione del tipo x2 +2x + 5 = 0. Applicando la formula risolutiva troviamo le soluzioni -1 ± 2i. Ecco dunque che scopriamo numeri del tipo a+ib, cioè che hanno la forma di un polinomio di primo grado in i e che prendono il nome di numeri complessi. Se un numero ha ha forma a+0i è reale: possiamo perciò dire che i numeri reali sono particolari numeri complessi. Le operazioni con i numeri complessi seguono le ordinarie regole dell'algebra; qui in particolare ci interessa calcolare il quadrato di un numero complesso: (a+ib)2 = a2 + 2bi + b2i 2 = (a2 - b2) + 2abi

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA

Fino alla fine del XVIII secolo i numeri complessi erano circondati da un alone di mistero. Ma ecco alcune considerazioni di Gauss:

1. ogni numero reale si può rappresentare con un punto di una retta;
2. ogni numero complesso (a+ib) può essere allora rappresentato con un punto P di coordinate (a,b) di un piano (che, in suo onore, viene detto piano di Gauss).
3. la radice quadrata di a² + b² rappresenta la distanza del punto P dall'origine delle coordinate.

Un numero complesso può essere pensato anche come un vettore: ad esempio al punto P possiamo far corrispondere il vettore OP ed al punto Q il vettore OQ. La somma di due numeri complessi è il vettore somma dei vettori che rappresentano i due numeri. L'addizione di numeri complessi equivale quindi alla composizione di traslazioni che hanno come componenti rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei numeri addendi.

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