area del fiocco di neve di von Koch - caos e oggetti frattali

AREA DEL FIOCCO DI NEVE

L'area del fiocco di neve è limitata perché è contenuta nel cerchio circoscritto al triangolo equilatero di partenza.

DIMOSTRAZIONE

Il triangolo è inscrivibile in un cerchio.
Il centro del cerchio circoscritto ad un triangolo è detto circocentro: esso è il punto di incontro degli assi dei lati.
Nel caso del triangolo equilatero il circocentro coincide con il baricentro, il punto di incontro delle mediane.
Il baricentro ha la proprietà di dividere ogni mediana in due parti, delle quali quella verso il vertice è doppia dell'altra.
Il raggio del cerchio circoscritto al triangolo equilatero è quindi i 2/3 dell'altezza.
Indichiamo con S₀ l'area del triangolo.

Dopo il primo passo
La figura è costituita dall'unione di due triangoli equilateri uguali che sono simmetrici rispetto al diametro parallelo a ad un lato: ad esempio, nel disegno a fianco, i triangoli sono simmetrici rispetto al diametro EF, parallelo al lato AB.
(Notare come si formino sui segmenti AB, CH e CB tre classi di grandezze direttamente proporzionali e come quindi, per il teorema di Talete, le rette che uniscono i punti corrispondenti siano parallele).
Possiamo concludere che la figura risulta inscritta nel cerchio circoscritto al triangolo equilatero di partenza.
Indichiamo con S₁ l'area della figura al primo passo.

Dopo il secondo passo
Dal triangolo equilatero HCI, come dagli altri, spuntano due triangoli equilateri.
Per semplicità riferiamoci al solo triangolo HCI relativamente al quale possiamo ripetere la stessa dimostrazione fatta al passo precedente. La figura che si forma è inscrivibile in un cerchio che, inoltre, risulta tangente internamente al cerchio circoscritto al triangolo ABC.
Continuando nel procedimento otterremo sempre cerchi tangenti internamente ai cerchi già costruiti e quindi il fiocco di neve di von Koch avrà area minore dell'area del cerchio circoscritto al triangolo ABC.

Indichiamo con S₂ l'area della figura completa al secondo passo.

TROVIAMO UNA FORMULA PER L'AREA DEL FIOCCO DI NEVE

Ad ogni passo, si aggiungono al fiocco nuovi triangoli. Per valutare la loro area complessiva, dobbiamo determinare, di volta in volta:

quanti triangoli si formano;
quanto vale l'area di ciascuno di essi.

E' facile vedere che ad ogni passo si forma un triangolo su ogni lato del fiocco. Ma quanti sono i lati?
Al passo 0 sono 3. Successivamente, ogni lato si divide in 4 lati. Avremo quindi: 3×4 lati al passo 1; 3×4² al passo 2... 3×4^k lati al passo k.
Di conseguenza si formeranno: 3 triangoli al passo 1; 3×4 triangoli al passo 2... 3×4^k-1 triangoli al passo k.
Resta da valutare l'area di ciascun triangolo, ma anche questo non è difficile. Il lato di ogni nuovo triangolo vale 1/3 di quello dei triangoli formati al passo precedente (è così che si costruisce il fiocco di neve). Di conseguenza, l'area vale 1/9 di quella dei triangoli precedenti.
Riassumendo:

Al passo 0 l'area vale S₀

Al passo 1 si formano 3 triangoli di area 1/9 di S₀ ciascuno.

Al passo 2 si formano 3×4 triangoli di area 1/9 di 1/9 di S₀ =S₀/9². Quindi
Al passo 3 si formano 3×4² triangoli di area 1/9 di 1/9² di S₀ = S₀/9³. Quindi

Al passo k si formano 3×4^k-1 triangoli di area S₀/9^k. Quindi

Il fiocco di neve è la figura limite che si ottiene reiterando il procedimento all'infinito.
Per questo, occorre trovare il limite di S_k per k che tende all'infinito. Tale limite si calcola facilmente ove si noti la presenza, nelle somme parziali, di una serie geometrica di ragione 4/9 e di termine iniziale 3/9.

Ricordando la formula che esprime l'area di un triangolo equilatero di lato s si ottiene finalmente

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	Il triangolo è inscrivibile in un cerchio. Il centro del cerchio circoscritto ad un triangolo è detto circocentro: esso è il punto di incontro degli assi dei lati. Nel caso del triangolo equilatero il circocentro coincide con il baricentro, il punto di incontro delle mediane. Il baricentro ha la proprietà di dividere ogni mediana in due parti, delle quali quella verso il vertice è doppia dell'altra. Il raggio del cerchio circoscritto al triangolo equilatero è quindi i 2/3 dell'altezza. Indichiamo con S₀ l'area del triangolo.
	Dopo il primo passo La figura è costituita dall'unione di due triangoli equilateri uguali che sono simmetrici rispetto al diametro parallelo a ad un lato: ad esempio, nel disegno a fianco, i triangoli sono simmetrici rispetto al diametro EF, parallelo al lato AB. (Notare come si formino sui segmenti AB, CH e CB tre classi di grandezze direttamente proporzionali e come quindi, per il teorema di Talete, le rette che uniscono i punti corrispondenti siano parallele). Possiamo concludere che la figura risulta inscritta nel cerchio circoscritto al triangolo equilatero di partenza. Indichiamo con S₁ l'area della figura al primo passo.
	Dopo il secondo passo Dal triangolo equilatero HCI, come dagli altri, spuntano due triangoli equilateri. Per semplicità riferiamoci al solo triangolo HCI relativamente al quale possiamo ripetere la stessa dimostrazione fatta al passo precedente. La figura che si forma è inscrivibile in un cerchio che, inoltre, risulta tangente internamente al cerchio circoscritto al triangolo ABC. Continuando nel procedimento otterremo sempre cerchi tangenti internamente ai cerchi già costruiti e quindi il fiocco di neve di von Koch avrà area minore dell'area del cerchio circoscritto al triangolo ABC. Indichiamo con S₂ l'area della figura completa al secondo passo.

Al passo 0 l'area vale S₀
Al passo 1 si formano 3 triangoli di area 1/9 di S₀ ciascuno.
Al passo 2 si formano 3×4 triangoli di area 1/9 di 1/9 di S₀ =S₀/9². Quindi
Al passo 3 si formano 3×4² triangoli di area 1/9 di 1/9² di S₀ = S₀/9³. Quindi
Al passo k si formano 3×4^k-1 triangoli di area S₀/9^k. Quindi
Il fiocco di neve è la figura limite che si ottiene reiterando il procedimento all'infinito. Per questo, occorre trovare il limite di S_k per k che tende all'infinito. Tale limite si calcola facilmente ove si noti la presenza, nelle somme parziali, di una serie geometrica di ragione 4/9 e di termine iniziale 3/9.
Ricordando la formula che esprime l'area di un triangolo equilatero di lato s si ottiene finalmente