LE CLASSICHE MISURE EUCLIDEE SONO INADEGUATE A DESCRIVERE UN FRATTALE 

Il perimetro di ogni frattale, infatti, tende a infinito, mentre l'area resta finita.

CALCOLO DELL'AREA RACCHIUSA DA UN FRATTALE
 

Anche se il perimetro di un frattale tende ad infinito, esso è sempre racchiuso in una regione limitata.

AB = AC  + BC

 AB < AC  + BC (disuguaglianza triangolare)
Nel caso di un frattale, ad ogni passo, ogni singolo segmento che lo compone subisce una riduzione, d'altra parte il numero di segmenti aumenta: sostituiamo come minimo due segmenti ad ognuno dei precedenti, e dunque la lunghezza complessiva, per l'assioma della distanza, aumenta.
Il processo di costruzione di un frattale si ripete all'infinito.
Dunque il perimetro di una frattale tende ad infinito.

Inizio: 1 segmento di 27 quadretti

Primo passo: 5 segmenti di 9 quadretti

Secondo passo: 25 segmenti di 3 quadretti...
Mediante la legge di formazione del frattale possiamo prevedere quanto sarà il perimetro al passo successivo, e comunque è facile intuire che, al tendere dei passi ad infinito, anche il perimetro tende ad infinito. APPROFONDIMENTO
 

Anche nella realtà il concetto di lunghezza presenta dei limiti quando vogliamo misurare una linea estremamente irregolare.
Mandelbrot si era posto il problema con la sua famosa domanda: "Quanto è lunga la costa della Bretagna?"
Se si segue il contorno della costa si vede che esso è molto frastagliato. Se cerchiamo di essere sempre più precisi , visto che ad ogni passo troviamo sempre le stesse irregolarità, vediamo che la misura non converge verso un ben definito valore ma anzi, aumenta (anche se, in questo caso, non possiamo prevedere di quanto!)

Se misuriamo la distanza fra due punti in linea d'aria, troveremo una certa lunghezza. Se misuriamo la distanza tra gli stesso due punti, ad esempio, a grandi passi, ecco che troviamo una lunghezza maggiore. Più cerchiamo di aumentare la precisione e più la lunghezza aumenta.
La lunghezza di un tratto di costa non potrà essere infinita, perché non potremo dividere indefinitamente i tratti da misurare, ma l'andamento delle successive misurazioni ricorda quello del calcolo del perimetro di un frattale nei successivi passi.

©2003 Tommaso Bientinesi