ALBERO DI PITAGORA CON ANGOLI ACUTI DI 45°, DI SEGUITO DENOMINATI P45

albero frattale

Passo 0
Osserviamo innanzitutto il formarsi del nostro albero, passo dopo passo, per i primi 4 passi:
basta premere i tasti Precedente e Successivo a sinistra, sotto alla figura.

Passo 0: si parte da un quadrato di lato unitario (così scelto per comodità).

Passo 1:
Si costruisce sul lato superiore del quadrato, a simulare la crescita di un albero, un triangolo rettangolo isoscele, quindi con gli angoli acuti di 45°, che abbia tale lato come ipotenusa; si costruiscono quindi i quadrati su entrambi i cateti.

Passo 2: si ripete l'operazione di cui al passo 1 su entrambi i quadrati ottenuti;

Passi successivi ... E così via.

Precedente Successivo

Ora dobbiamo meglio comprendere i vari passi successivi. Iniziamo dalla costruzione del quadrato sul cateto di destra. Dobbiamo arrivare al quadrato A''B''C''D'', per questo useremo 2 trasformazioni.
Osserviamo esplicitamente che questo non è l'unico metodo per ottenere il risultato.

Figura 1

Figura 2

  1. Rotazione del quadrato ABCD di un angolo di +225° (cioè 225° in senso antiorario) intorno al vertice C.
    Otteniamo il quadrato A'B'C'D'.
  1. Omotetia diretta, sempre di centro C, di rapporto (√2)/2 ≈ 0.707 (Il lato da costruire è infatti quello di un quadrato di diagonale 1).
Se ora vogliamo ripetere la stessa costruzione a partire dal quadrato A''B''C''D'', applicheremo le stesse trasformazioni, ma dobbiamo tenere conto del fatto che, nel nuovo quadrato, il ruolo del vertice A viene giocato dal vertice B'', quello di B da C'', quello di C da D'' e quello di D da A''.

 

Andiamo ora a esaminare la la costruzione del quadrato sul cateto di sinistra.

Figura 1

Figura 2

  1. Rotazione del quadrato ABCD di un angolo di +135° (cioè 135° in senso antiorario) intorno al vertice D.
    Otteniamo il quadrato A'B'C'D'.
  1. Omotetia diretta, sempre di centro D, di rapporto (√2)/2 ≈ 0.707 (Il lato da costruire è infatti quello di un quadrato di diagonale 1).
Se ora vogliamo ripetere la stessa costruzione a partire dal quadrato A''B''C''D'', applicheremo le stesse trasformazioni, ma dobbiamo tenere conto del fatto che, nel nuovo quadrato, il ruolo del vertice A viene giocato dal vertice C'', quello di B da D'', quello di C da A'' e quello di D da B''.
E' chiaro che, ad ogni passaggio e su ogni quadrato dobbiamo effettuare entrambe le costruzioni.


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