APPROFONDIMENTO DI MATEMATICA SULLA SPIRALE FRATTALE: LA PRIMA TRASFORMAZIONE

La spiegazione si riferisce alla spirale frattale realizzata con il metodo IFS. Vediamo ora come nascono i parametri della trasformazione.

Innanzitutto, riprendendo i parametri della prima trasformazione, notiamo che (i valori sono approssimati al millesimo):

 

a

b

c

d

e

f

p

I

0.728 ≈ 0.9*cos36°

-0.529 ≈ - 0.9*sen36°

0.0

0.529 ≈ 0.9*sen36°

0.728 ≈ 0.9*cos36°

0.0

0.87

In effetti, l'equazione della prima trasformazione, senza approssimazioni, è:

x' = (cos(36°) * x - sin(36°) * y )*0.9
y' = (sin(36°) * x + cos(36°) * y )*0.9
Si tratta di un caso particolare dell'equazione:
x' = (cosα * x - sinα * y )*k
y' = (sinα * x + cosα * y )*k
ovvero di una rotazione di centro l'origine e angolo α seguita da una contrazione di rapporto k, 0 < |k| < 1.

Le trasformazioni composte con una omotetia e una isometria (o viceversa con una isometria e una omotetia) sono chiamate similitudini.

ITERIAMO LA PRIMA TRASFORMAZIONE

Potete provare la prima trasformazione per angoli e rapporti di contrazione a volta scelta.

Ogni volta la trasformazione viene applicata ai punti trovati nela trasformazione precedente.

NOTA BENE

  1. Il programma seguente è realizzato con il tag HTML5 canvas: gli utenti MSIE potranno utilizzarlo solo se possiedono la versione dalla 9 in poi.
  2. Se cambiate uno o più parametri, prima di procedere, cliccate sul pulsante AGGIORNA

AZIONI CON IL MOUSE: CLIC SU

PASSO PER PASSO
Ottieni l'immagine successiva del quadrato, a partire da ABCD, secondo la trasformazione scelta.
VERTICE A, VERTICE B, VERTICE C, VERTICE D
Ottieni la spezzata che unisce le posizioni successive del vertice selezionato secondo la trasformazione scelta.
Se |k| < 1 la trasformazone viene applicata per 90 volte.
ASSI
Traccia gli assi cartesiani e l'unità di misura
AGGIORNA
Cancella tutto e si riparte da zero

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Scegli angolo e contrazione





Partiamo dal quadrato ABCD di vertici
A(-1,-1); B(+1,-1); C(+1,+1); D(-1,+1).

Posto il rapporto di contrazione = k

  1. Se 0 < |k| < 1 e applichiamo successivamente la trasformazione, osserviamo che, mentre il lato del quadrato tende a 0, i segmenti che uniscono le posizioni successive dei vertici approssimano quattro spirali.
  2. Se |k| = 1 abbiamo una rotazione: in particolare, se k = -1, abbiamo la composizione di ua rotazione di centro O e angolo = α e di una simmetria centrale, equivalente a una rotazione di centro O e angolo = 180° + α.
  3. Se |k| > 1 il lato del quadrato si ingrandisce sempre di più

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