approfondimento di matematica sul pentagono frattale di Sierpinski con il metodo IFS

APPROFONDIMENTO DI MATEMATICA SUl PENTAGONO DI SIERPINSKI

La spiegazione si riferisce al pentagono di Sierpinski realizzato con il metodo IFS.

Perché il rapporto di contrazione è k = 0.382?

Partiamo da un pentagono regolare.
Gli angoli interni del pentagono regolare sono di 108°.
Dunque gli angoli esterni sono di 72°.

Sia AB = 1
Applichiamo al pentagono la contrazione k e trasliamone 5 copie.
Otteniamo la figura a destra.

Si ha:

AB = 1
AC = CH = HD = DB = k*AB = k
AB = AC + CD + DB
CD = 2kcos72°
(Infatti il triangolo CHD, che è isoscele,ha gli angoli alla base di 72°)

Sostituendo, ricaviamo:
1 = k + 2kcos72° + k = 2k(1+cos72°)
k = 1 /[2(1+cos72°)] ≈ 0.38197

TRASLAZIONI

Caso 1

Viene estratta una pallina rossa.
In questo caso, basta la sola contrazione (pentagono rosso).

Caso 2

Viene estratta una pallina arancione.
In questo caso, oltre alla contrazione di fattore k, occorre una traslazione orizzontale pari a 1 - k ≈ 0.618 (pentagono arancione).

Caso 3

Viene estratta una pallina verde.
In questo caso, oltre alla contrazione di fattore k, occorre una traslazione di componenti (+ 0.809, + 0.588). Perché?

Seguiamo il percorso ABCD disegnato in giallo della figura a sinistra.
Il vettore AB ha componenti (k,0).
Il vettore BC ha componenti (kcos72°, ksen72°).
Il vettore CD ha componenti (kcos36°, ksen36°).
Dunque la traslazione orizzontale è
k + kcos72° + kcos36° = k(1 + cos72° + cos36°) ≈ + 0.809.
Mentre la traslazione verticale è
ksen72° + ksen36° = k(sen72° + sen36°) ≈ + 0.588

Caso 4

Viene estratta una pallina azzurra.
In questo caso, oltre alla contrazione di fattore k, occorre una traslazione di componenti (+ 0.309, + 0.951). Perché?

Seguiamo il percorso ABCD disegnato in verde della figura a sinistra.
Il vettore AB ha componenti (-kcos72°, ksen72°).
Il vettore BC ha componenti (kcos36°, ksen36°).
Il vettore CD ha componenti (kcos72°, ksen72°).
Dunque la traslazione orizzontale è
- kcos72° + kcos36° + kcos72° = kcos36° ≈ + 0.309.
Mentre la traslazione verticale è
ksen72° + ksen36° + ksen72° = k(2sen72° + sen36°) ≈ 0.951

Caso 5

Viene estratta una pallina gialla.
In questo caso, oltre alla contrazione di fattore k, occorre una traslazione di componenti (- 0.191, + 0.588). Perché?

Seguiamo il percorso ABCD disegnato in verde della figura a sinistra.
Il vettore AB ha componenti (-kcos72°, ksen72°).
Il vettore BC ha componenti (kcos36°, ksen36°).
Il vettore CD ha componenti (-k,0).
Dunque la traslazione orizzontale è
- kcos72° + kcos36° -k = k(- cos72° + cos36° - 1) ≈ - 0.191.
Mentre la traslazione verticale è
ksen72° + ksen36° = k(sen72° + sen36°) ≈ + 0.588

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