APPROFONDIMENTO DI MATEMATICA SUl PENTAGONO DI DÜRER

Il presente approfondimento di matematica si riferisce al pentagono di Dürer realizzato con il metodo IFS.

Per quanto riguarda il rapporto di contrazione k = 0.382 e le prime cinque traslazioni, rimandiamo alla spiegazione data riguardo al cosidetto pentagono di Sierpinski.

Rispetto a questo, dobbiamo aggiungere un'ultima trasformazione che consenta di aggiungere, agli altri, il pentagono disegnato in celeste della seguente figura:

 

 

COME FARE

PASSO UNO: CONTRAZIONE E ROTAZIONE


Partiamo dal pentagono regolare ABCDE.
Sia AB = 1
Applichiamo al pentagono la contrazione k seguita dalla rotazione di 180° intorno al vertice A, coincidente con l'origine.
Otteniamo il pentagono A'B'C'D'E'.

Equazioni

x' = -kx
y' = -ky

 


 

PASSO DUE: TRASLAZIONE

Seguiamo ora il percorso disegnato in giallo che ci porti al posto stabilito il pentagono celeste.

La traslazione orizzontale è
k + kcos72° + kcos36° -kcos72° = k(1 + cos36°) ≈ + 0.691.

Mentre la traslazione verticale è
0 + ksen72° + ksen36° + ksen72° = k(2sen72° + sen36°) ≈ 0.951

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